240504: 5월엔 이산수학 시작. 복소수의 사칙연산

2024-05-04

5월은 수학에 집중해보자.

6064번 카잉 달력 문제를 쓰는데 태그가 '중국인의 나머지 정리' 이다.
앞으로 알고리즘 문제를 풀 때 수학의 벽이 계속 날 가로막을 것 같다.
그래서 "컴퓨팅 사고력을 키우는 이산수학" 책을 사서 오늘부터 풀어보기로 했다.

5월은 알고리즘 문제 풀이보단 이산수학 공부에 집중할듯.

책 보면서 끄적인 것들.. :

뭔가 인류의 수 체계가 이해된다. 자연에 존재하는, 말 그대로 자연적인 수가 자연수다. 처음부터 자연엔 양의 것만 있었다. 존재하는 것이 존재하는 것이다. 0보다 큰 양의 정수는 자연수이다.

그 보다 큰 규격으로 0과 음수가 있다. 음수는 자연적으로 존재하지 않았다. 무언가를 셀 때 그것의 양이 음인것은 자연에서 존재하지 않는다.

그리고 자연수, 0, 음의 정수를 통칭해서 정수라고 한다.

유리수는 분수를 말한다. 이건 학교에서 어릴 때 배운 것 같다. 위에서 설명한 모든 정수 집합은 유리수에 포함된다. 왜냐면 1을 1/1로 유리수로 표현할 수 있다.

궁금증: 왜 5/7을 하면 소수점이 0.714285714285... 로 '714285' 가 반복되나요? 어떻게 이런 현상이 일어나는거죠? 결국의 계산에 끝에는 정답이 있어야 하는 것 아닌가요?해결: 유리수는 두 정수의 비율을 표현한 것인데, 특정 비율에선 소수점이 반복된다. 고정된 값이 아니라 비율이라서 그렇다.

무리수는 분수 형태로 표현 불가능한 수다. 유리수는 소수로 표현했을 때 소수가 유한하거나, 규칙성을 갖고 무한해서 분수로 표현 가능하지만. 무리수는 소수부의 숫자가 규칙성 없이 무한히 나열되어 분수로 표현할 수 없어야 한다.

실수(real number)는 유리수와 무리수를 포함하는. 즉, 이전에 말했던 모든 수 체계를 포함한다.

궁금증: 왜 무엇을 제곱하든 그것의 기수? 지수? exponentation이 0이면 값이 1인 이유? 이건 수학을 유지시키기 위한 규칙일 뿐인가요?해결: 단순한 수학 유지 규칙이 아닌, 지수 법칙의 일관성과 논리적 구조에 따름이다. 지수 법칙에 의하면 x^a * x^b = x^a+b 여야 되는데, x^0 이 1이 아니라면 이가 성립하지 않는다.

이제부턴 살짝 가상의 영역, 제곱해서 음수가 되는 실수는 존재하지 않지만, 물리학이나 전자공학 등에서 제곱했을 때 음수인 가상 수가 필요해서 만들었다고 한다.

허수. i^2 = -1을 만족하는 수 i

궁금증: 물리학이나 전자공학의 어떤 부분에서, 허수가 필요한건가요? 허수란 말 그대로 존재하지 않아서, 우리가 살아가는 데에 필요 없는 것 아닌가요?
복소수의 사칙연산은 직관적으로 와닿지 않는데, 이것에 특별한 규칙이 있나요? 아니면 그냥 외우는 게 빠를까요.해결: 복소수의 사칙연산은 실수의 연산을 확장한 것이며, 복소수의 나눗셈은 공액(complex conjugate)을 사용한다.

오늘 배운 것:

수의 체계, 복소수의 사칙연산 등